Інваріанти в олімпіадній математиці це, мабуть, найзахопливіша річ у світі. Мені було 10 років коли я познайомилась з інваріантами у задачі:
На чарівному дереві ростуть апельсини та банани, збираєш 2 різних фрукти – виростає банан, збираєш 2 однакових – виростає апельсин, який фрукт буде в кінці?
Звідки мені було знати, що буде в кінці? Я думала, що потрібно перебрати окремі випадки, почала перебирати їх, але відповідь була завжди одна і та ж. Я задумалася, чому так? І мені засяяло. Адже тут не змінюється парність одного з фруктів. І проста ідея про те, що щось може не змінюватися, розв’язує всю задачу. Для мене це було дивовижним відкриттям.
Парність і дільники
Інваріант – це те, що не змінюється в задачі. У найпростішому вигляді інваріантом виступає парність. А ще буває подільність. Наприклад, задача:
Оксана купила 27 смаколиків для Асі-мопса, 3 пачки антидепресантів та 15 чизбургерів. Чи могла вона витратити на все 500 гривень?
Не могла, тому що всі її покупки діляться на 3, а 500 гривень на 3 не ділиться навіть з копійками. При цьому нам не потрібно з’ясовувати, скільки коштувала кожна позиція та чи збіглася сума чека.
Розмальовки та останні цифри
Розмальовка – ще один інваріант в олімпіадній математиці. Така розмальовка використовується в задачах, де ходять коні по шахівниці або клопи стрибають по клітинках. Тут нам потрібно дивитись, як себе поводять кольори клітинок. Якщо одна розмальовка не працює, то пробуємо іншу.
Також як інваріанти виступають остачі або остання цифра числа. Наприклад, чи може число 35198437 бути квадратом натурального числа? Ні, тому що квадрати натуральних чисел ніколи не закінчуються на 7.
Інваріанти в інших науках
Але інваріанти існують не тільки в олімпіадній математиці. Є серйозні інваріанти в дорослій математиці, наприклад, визначник, слід, власні вектори та власні значення матриці інваріантні відносно вибору базису. А ще інваріанти є в лінгвістиці, фольклористиці, музиці, програмуванні й навіть історії.
Отже, я люблю інваріанти, вони файні.
